Olen hieman tutustunut pintaa syvemmältä (no, ainakin suhteutettuna omaan tietotaitoon, joka ei nyt ehkä ihan niin korkealla tasolle ole) matematiikan aksiomatiikkaan ja kuinka kaikki matematiikka perustuu sääntöihin ja sopimuksiin, jotka "vain pitää hyväksyä". Esim. matematiikan eräällä tunnilla tässä taannoin kysyin jotain jostain, että miksi jokin juttu oli niin kuin oli, niin opettaja vastasi että se on vain "sopimus", joka pitää hyväksyä [jotta päästään eteenpäin asiassa]. No, tämä asia oli sinänsä simppeli juttu ja ei perustavanlaatuinen aksiooma, vaan ihan vain periaatteessa laskusuoritus, jonka vastaus oli yllättävä ja epäintuitiivinen (näitähän riittää matematiikassa). Kunnianosoitukset ja kiitokset kuitenkin opettajalle, joka selitti varsin hyvin että miksi asia on näin, ihan esimerkein ja askel askeleelta. Eli tässä vinkki matematiikan opiskelijoille, joka on melko lailla itsestäänselvyys: Jos sinulla on jotain askarruttavaa mielessäsi, kysy opettajaltasi enemmän asiasta! Opettajat kuitenkin tekevät tätä työkseen ja tietotaito esittää vastaus varmasti löytyy - varsinkin jos sinulla on hyvä opettajaa, niitä kun nyt on laidasta laitaan. Mikä on sinänsä harmi. Jotkut opettajat ovat vain 10x parempia opettamaan kuin jotkut toiset, mutta tämä menee taas ehkä enemmän psykologian tms. puolelle, joten ei enempää tästä. Ai niin, vielä yksi asia, jonka haluan mahduttaa tähän kappaleeseen. Kysyin eräältä toiselta matematiikan opettajalta tässä myös taannoin, että mitä on i^i eli i korotettuna eksponenttiin/potenssiin i. Tästä tuli sinänsä yllättävä vastaus opettajalta, kun kuitenkin opettaa pitkän matematiikan kaikkia linjoja; hän ei tietänyt vastausta ja ei osannut sanoa kysymykseeni mitään. Buahah!
Okei, seuraava kappale. Vihdoinkin. Tarkoitukseni oli kirjoittaa otsikon mukaisesti uuden/uusien matematiikan luomisen mahdollisuuksista, mutta kirjoitin aika paljon ohi aiheesta jo äskeisessä kappaleessa, joten en taida tällä kertaa perehtyä niin syvästi tähän, vaan jätän suosiolla ensi kertaan. Tai johonkin kertaan, jos ei ensi kertaan. Kirjoitusinspiraationi hieman lyssähti nyt. No, joka tapauksessa matematiikka perustuu tällaisiin aksioomiin, jotka täytyvät hyväksyä, ennen kuin tehdään mitään rakentavampaa. Katsoin tästä juuri itse asiassa tänään videon professori Norman Wildbergeriltä ja odottelen tässä innolla ensi kertaa kun perehdytään lisää samoihin aiheisiin. Ja aiheethan siis nimenomaan on tässä uudessa ja seuraavassa videossa aksiomaattisten väitteiden ongelmallisuus. Ja tuosta sitten pulppusi oma ideani, että voisi huvikseen tehdä uudenlaisen "matematiikan", joka perustuu ihan erilaisiin sääntöihin. 1 + 1 = 3? Onnistuu! Tosin olen niin huono kirjoittamaan tai tekemään tällaista operaatiota, että jätän aiheen lähinnä siitä hieman ohi skriivailuun. Luin taannoin jonkun tekemän kommentinkin juuri tästä, että kuka tahansa hieman perehtyneempi matematiikan opiskelija voisi helposti tehdä ihan uudenlaisen matematiikan.
No jooh. Tähän jää kirjoitteluni tältä erää. Ensi kertaan! Ensi kerralla kirjoitan ehkä hieman irrationaalisista luvuista ja miten niitä voisikin itse asiassa käsitellä erittäin rationaalisina numeroina. Kiitos ja näkemiin.
maanantai 22. joulukuuta 2014
keskiviikko 17. joulukuuta 2014
Yhteenlaskusta
Yhteenlasku on yksi matematiikan perusoperaatioista ja minua pyydettiin kirjoittamaan siitä hieman syvemmällä luotauksella. Tämä kuitenkin osoittautui aika hankalaksi aiheeksi, koska se ei kiinnostanut minua. "Yhteenlaskun primitiivinen rakennus, miten yhteenlasku muuttaa lukuja ja yhteenlaskujen aksioomista mietteitä." Suurinpiirtein tällainen pyyntö siis. Toinen pyyntö oli, että miten suunnitella optimaalinen hylly. Sekin tuntuu aika kuivalta aiheelta itselleni.
1 + 1 = 2. a + a = b. 2a = b. (Kun kummatkin puolet jaetaan kahdella, saadaan a = b/2 eli 1 = 2/2.)
2a - b = 0 tai -2a + b = 0.
Jotain algebrallista raapustelua miksi 1 + 1 = 2. En oikein jaksa miettiä sen syvemmin kyllä.
1 + 1 = 2. a + a = b. 2a = b. (Kun kummatkin puolet jaetaan kahdella, saadaan a = b/2 eli 1 = 2/2.)
2a - b = 0 tai -2a + b = 0.
Jotain algebrallista raapustelua miksi 1 + 1 = 2. En oikein jaksa miettiä sen syvemmin kyllä.
sunnuntai 7. joulukuuta 2014
Yleistä höpinää numeroista part 3
Olisin hyvin kiinnostunut seuraavanlaisesta projektista: Uudenlaisen matematiikan luominen, joka noudattaa eri sääntöjä kuin mitä meidän Universumissamme matematiikalla on. Universumimme matematiikka tuntuu suhteellisen kiinteältä kokonaisuudelta ja erittäin pitävältä (niin kuin vene, joka ei vuoda vettä), sääntöjä noudattavalta systeemiltä. Mutta onko totuus tämä? Matematiikassa on ongelmia, joita ei edes voida ratkaista. Puhun nyt siis Gödelin epätäydellisyyslauseista. Mielestäni jo sen suhteen matematiikka on puutteellista, ikään kuin ei-optimaalista Universumin ja kaiken suhteen. Vai onko asia nyt vain niin, että "näin se vain on" ja epätäydellisyydet mukaanlukien kokonaisuus on Täydellinen.
Kuitenkin... Mitä on tämä "täydellisyys", josta puhun? En tiedä oikein itsekään enää. Matematiikassa on muuten paljon lisääkin ongelmia ja mielestäni ehkä suurin niistä reaaliluvut ja kontinuumi (mistä se koostuu) sekä äärettömyys. Matematiikan mustia aukkoja piisaa.
Ja tästä pääsemmekin suoraan ratsastamaan fysiikan pariin. Kutsun tällaisia anomaliteetteja todellisen elämän glitcheiksi, "IRL bugeiksi". Näin hieman englanninkieltä lainaten. Fysiikka ja mustat aukot, niiden singulariteetti varsinkin, ovat ristiriidassa keskenään - kuten myös alkuräjähdys (sen singulariteetti) sekä moni muu asia; pimeä materia, pimeä energia? Eniten ehkä kuitenkin kvanttimekaniikka. Miksi voimme mitata niin uskomattoman epätäydellisesti partikkeleiden "eksistentiaalisuutta"? Emme voi tietää partikkelin, esim. elektronin, paikkaa jos tiedämme sen nopeuden ja vice versa. Emme voi tietää partikkelin nopeutta, jos saamme selville sen position. Ja kvanttilomittuminen?! Ei jeesus... Universumi on täynnä mysteerejä - mysteerejä, jotka itseasiassa tuntuvat asioilta/tapahtumilta, joita ei tässä Universumissamme kuuluisi ollakaan. Hieman kuin ohjelmoijalta olisi jäänyt viimeistelemättä koodi. Ihan kuin Jumala ei olisi antanut viime silausta, ajatusta, ennen suurta luomista - jos nyt näin uskonnollissävytteisesti asian voisin ilmaista. Tarpeeksi fysiikasta.
Onko kaikki kuitenkin "täydellistä" siten, miten asiat ovat? Ovatko luonnonlait ja matematiikka täydellisiä nyt? Katsonko liian ihmissilmin näitä vaikeita pulmia? Mielestäni en. Universumimme ei ole optimaalinen ilman ihmistäkään. Universumimme voisi olla äärettömällä tavalla "parempi kokonaisuus". Matematiikka on puutteellista, fysiikan lait myös. Nämä lait ovat puutteellisina olemassa ilman ihmiskuntaakin.
Kuitenkin... Mitä on tämä "täydellisyys", josta puhun? En tiedä oikein itsekään enää. Matematiikassa on muuten paljon lisääkin ongelmia ja mielestäni ehkä suurin niistä reaaliluvut ja kontinuumi (mistä se koostuu) sekä äärettömyys. Matematiikan mustia aukkoja piisaa.
Ja tästä pääsemmekin suoraan ratsastamaan fysiikan pariin. Kutsun tällaisia anomaliteetteja todellisen elämän glitcheiksi, "IRL bugeiksi". Näin hieman englanninkieltä lainaten. Fysiikka ja mustat aukot, niiden singulariteetti varsinkin, ovat ristiriidassa keskenään - kuten myös alkuräjähdys (sen singulariteetti) sekä moni muu asia; pimeä materia, pimeä energia? Eniten ehkä kuitenkin kvanttimekaniikka. Miksi voimme mitata niin uskomattoman epätäydellisesti partikkeleiden "eksistentiaalisuutta"? Emme voi tietää partikkelin, esim. elektronin, paikkaa jos tiedämme sen nopeuden ja vice versa. Emme voi tietää partikkelin nopeutta, jos saamme selville sen position. Ja kvanttilomittuminen?! Ei jeesus... Universumi on täynnä mysteerejä - mysteerejä, jotka itseasiassa tuntuvat asioilta/tapahtumilta, joita ei tässä Universumissamme kuuluisi ollakaan. Hieman kuin ohjelmoijalta olisi jäänyt viimeistelemättä koodi. Ihan kuin Jumala ei olisi antanut viime silausta, ajatusta, ennen suurta luomista - jos nyt näin uskonnollissävytteisesti asian voisin ilmaista. Tarpeeksi fysiikasta.
Onko kaikki kuitenkin "täydellistä" siten, miten asiat ovat? Ovatko luonnonlait ja matematiikka täydellisiä nyt? Katsonko liian ihmissilmin näitä vaikeita pulmia? Mielestäni en. Universumimme ei ole optimaalinen ilman ihmistäkään. Universumimme voisi olla äärettömällä tavalla "parempi kokonaisuus". Matematiikka on puutteellista, fysiikan lait myös. Nämä lait ovat puutteellisina olemassa ilman ihmiskuntaakin.
tiistai 2. joulukuuta 2014
Yleistä höpinää numeroista part 2
Olen hirvittävän kiinnostunut siitä, mitä numerot ovat. Miksi ihmiset käyttävät lukujonoa numeroiden konseptina? Se on vain abstrakti ihmisten luoma tekele, jolla voidaan vain visuaalisesti näyttää numeroita jonossa. Se, kuinka minä numeroita ajattelen, ei ole kovinkaan selvää. Mitä minuun tulee, ei lukujonoa ole olemassakaan. Me vain tykkäämme näyttää numeroita näin. Voisiko lukujono olla erilainen vai onko tämä kaikki vain filosofointia? Onko numeroille jotain absoluuttista eksistentiaalista olemusta, edes abstraktien ja teoreettisten ideologioiden tasolla?
Olen kuullut eräältä professorilta hänen oman näkemyksensä, miten numerot "ovat olemassa" ja se on seuraavanlainen: numerot ovat sekasortoisesti miten sattuu hyytelömäisessä rakenteessa. Pah, tämä on naurettavan kuuloista kun en osaa kuvailla/tuoda ilmi niin tarkasti tätä professorin näkökulmaa, joka oli erittäin validi omasta mielestäni. Professori nimittäin laski äärettömiä sekvenssejä ja mitä tuloksia niistä voi hieman matemaattisin (joskin validien) kepulikonstien avulla saada - eli siis mikä on jonkin äärettömän laskutoimituksen summa. Tässä tapauksessa se muistaakseni oli ehkä tämä perus 1 + 2 + 3 + 4 + ... jonka tulos siis olisi -1/12. Professori selitti, kuinka numerot plussautuvat toisiinsa ja tämä ääretön lukujono tavallaan kierii tämän -1/12 -tuloksen ympärillä tässä numerohyytelössä. Tällöin tuon numeroiden yhteenlaskun limitti, raja-arvo olisi tuo -1/12. Erittäin mielenkiintoinen näkökanta professorilta. Hieman alternatiivista lukujonoajattelua.
Tokihan lukujonoa voi laajentaa kompleksitasolle, mutta ydinkysymys silti taas voimassa, ei se mihinkään katoa kun näitä tasoja nostellaan vaikka kuinka mielivaltaisesti ...kai. Kompleksitasolta hypätään sitten kolmannen numeroavaruusulottuvuuden yli ja saavutaan kvaternioiden tasolle saamatta mitään kovin järkevää vinkkiä tähän ydinkysymykseen/-ajatelmaan, jota pohdin.
Yleisesti, jostain kumman syystä, lukujonon pisteitä sanotaan nollaulottuvuuksisiksi pisteiksi. Miksi ne ovat "0-ulotteisia pisteitä"? Mitä tuo kysymys edes periaatteessa tarkoittaa? Jonkinlainen ihmiskunnan keksintö taas tämäkin. Ei oikein tunnu vakuuttavalta sanoa noin ja mistä tuo oletus edes tulee? Onko muka olemassa jotain todisteita tai mitään, minkä takia pisteet lukujonolla olisivat 0-ulotteisia? Nollannella ulottuvuudella ei yksinkertaisesti ole paikkaa meidän reaalimaailmassa - eikä reaalinumeroiden maailmassa ...ehkä. En tiedä. Selittäkää joku järkevämpi minulle niin, että ymmärrän asian, jos teillä tähän on vastaus! Ja vielä loppuajatus/-kysymys tähän paragrafiin: Onko ajatuksilla tilaa tässä maailmassa? Ovatko ajatukset nollaulotteisia objekteja? Numerot ovat yhä abstrakteja entiteettejä, kuten myös ajatuksetkin.
Lukujono on ihmisen keksintö ja jos ajattelet pisteiden lukujonolla olevan nollaulotteisia, eikö tuo tarkoittaisi samaa kuin että ne eivät vie yhtään tilaa lukujonolla? Essentiaalisesti niitä ei siis käytännössä ole edes siellä lukujonolla. Vai onko? Eikö kaikki luvut sitten miinus-äärettömästä plus-äärettömään uppoutuisi eräänlaisesti johonkin singulariteetiin - pisteeseen, jota ei alunperin edes ollut olemassakaan. Ja myös, haluaisin huomauttaa, että ehkä numeroiden maailman takana todella voisi olla jonkinlaista taikaa. Kuten eräät sanovat, että emme asu missään keijukaisten maailmassa... Mitäpä jos asummekin? Ja tätä taikaa olisi numeroiden takana. Juuri kuten pimeä aine toimii universumissamme mysteerisin tavoin; vaikuttaa painovoimallaan objekteihin avaruudessa mutta me emme näe pimeä ainetta, emme pysty mitenkään millään tavalla mittaamaan mitä pimeä aine edes on. Se ei vaikuta muutoin kuin painovoimallaan meidän universumissa. En nyt sano, että pimeä aine jotain taikaa olisi, mutta tuo oli vain pieni vertailupohdiskelu.
Olen myös miettinyt erilaisten mahdollisten universumien matematiikkaa: Voisiko 1 + 1 olla jossain universumissa 3? Tai 1? Tai 5 = 6? Voisiko luoda uudenlaista matematiikkaa, jossa olisi täysin toimivat samat säännöt kuin nykymatematiikassakin? Mielenkiintoista pohdiskelua tosiaan ja ihan varmasti voidaan luoda (me ihmiset) jo jonkinlainen erilainen matematiikka - ihan vaan vaikka leikillä testiksi.
Olen kuullut eräältä professorilta hänen oman näkemyksensä, miten numerot "ovat olemassa" ja se on seuraavanlainen: numerot ovat sekasortoisesti miten sattuu hyytelömäisessä rakenteessa. Pah, tämä on naurettavan kuuloista kun en osaa kuvailla/tuoda ilmi niin tarkasti tätä professorin näkökulmaa, joka oli erittäin validi omasta mielestäni. Professori nimittäin laski äärettömiä sekvenssejä ja mitä tuloksia niistä voi hieman matemaattisin (joskin validien) kepulikonstien avulla saada - eli siis mikä on jonkin äärettömän laskutoimituksen summa. Tässä tapauksessa se muistaakseni oli ehkä tämä perus 1 + 2 + 3 + 4 + ... jonka tulos siis olisi -1/12. Professori selitti, kuinka numerot plussautuvat toisiinsa ja tämä ääretön lukujono tavallaan kierii tämän -1/12 -tuloksen ympärillä tässä numerohyytelössä. Tällöin tuon numeroiden yhteenlaskun limitti, raja-arvo olisi tuo -1/12. Erittäin mielenkiintoinen näkökanta professorilta. Hieman alternatiivista lukujonoajattelua.
Tokihan lukujonoa voi laajentaa kompleksitasolle, mutta ydinkysymys silti taas voimassa, ei se mihinkään katoa kun näitä tasoja nostellaan vaikka kuinka mielivaltaisesti ...kai. Kompleksitasolta hypätään sitten kolmannen numeroavaruusulottuvuuden yli ja saavutaan kvaternioiden tasolle saamatta mitään kovin järkevää vinkkiä tähän ydinkysymykseen/-ajatelmaan, jota pohdin.
Yleisesti, jostain kumman syystä, lukujonon pisteitä sanotaan nollaulottuvuuksisiksi pisteiksi. Miksi ne ovat "0-ulotteisia pisteitä"? Mitä tuo kysymys edes periaatteessa tarkoittaa? Jonkinlainen ihmiskunnan keksintö taas tämäkin. Ei oikein tunnu vakuuttavalta sanoa noin ja mistä tuo oletus edes tulee? Onko muka olemassa jotain todisteita tai mitään, minkä takia pisteet lukujonolla olisivat 0-ulotteisia? Nollannella ulottuvuudella ei yksinkertaisesti ole paikkaa meidän reaalimaailmassa - eikä reaalinumeroiden maailmassa ...ehkä. En tiedä. Selittäkää joku järkevämpi minulle niin, että ymmärrän asian, jos teillä tähän on vastaus! Ja vielä loppuajatus/-kysymys tähän paragrafiin: Onko ajatuksilla tilaa tässä maailmassa? Ovatko ajatukset nollaulotteisia objekteja? Numerot ovat yhä abstrakteja entiteettejä, kuten myös ajatuksetkin.
Lukujono on ihmisen keksintö ja jos ajattelet pisteiden lukujonolla olevan nollaulotteisia, eikö tuo tarkoittaisi samaa kuin että ne eivät vie yhtään tilaa lukujonolla? Essentiaalisesti niitä ei siis käytännössä ole edes siellä lukujonolla. Vai onko? Eikö kaikki luvut sitten miinus-äärettömästä plus-äärettömään uppoutuisi eräänlaisesti johonkin singulariteetiin - pisteeseen, jota ei alunperin edes ollut olemassakaan. Ja myös, haluaisin huomauttaa, että ehkä numeroiden maailman takana todella voisi olla jonkinlaista taikaa. Kuten eräät sanovat, että emme asu missään keijukaisten maailmassa... Mitäpä jos asummekin? Ja tätä taikaa olisi numeroiden takana. Juuri kuten pimeä aine toimii universumissamme mysteerisin tavoin; vaikuttaa painovoimallaan objekteihin avaruudessa mutta me emme näe pimeä ainetta, emme pysty mitenkään millään tavalla mittaamaan mitä pimeä aine edes on. Se ei vaikuta muutoin kuin painovoimallaan meidän universumissa. En nyt sano, että pimeä aine jotain taikaa olisi, mutta tuo oli vain pieni vertailupohdiskelu.
Olen myös miettinyt erilaisten mahdollisten universumien matematiikkaa: Voisiko 1 + 1 olla jossain universumissa 3? Tai 1? Tai 5 = 6? Voisiko luoda uudenlaista matematiikkaa, jossa olisi täysin toimivat samat säännöt kuin nykymatematiikassakin? Mielenkiintoista pohdiskelua tosiaan ja ihan varmasti voidaan luoda (me ihmiset) jo jonkinlainen erilainen matematiikka - ihan vaan vaikka leikillä testiksi.
maanantai 1. joulukuuta 2014
Yleistä höpinää numeroista
Numeroista yleisesti kunhan tässä vähän itsekseni pölisen ajankuluksi vain... Mutta mielestäni reaalilukujen tarkkaa määritelmää ei tuoda tarpeeksi tarkasti esille oikeastaan missään. En koko elämäni aikaisista matematiikan opinnoista muista koskaan saaneeni oppia mitä numerot oikeastaan ovat. Jotkut kun olen kuunnellut, sanovat, että se mitä numeroilla tehdään (operaatiot) ovat tärkeitä ja itse numerot ovat itsestäänselvyyksiä. Itseasiassa numeroita käsitelläänkin ihan vain itsestäänselvyyksinä ja luulenkin, että hyvin vahvasti sen takia kaikki opetus keskitetään näihin operaatioihin. Ja tämä, mistä kirjoitan ja koitan tällä tekstillä ajaakin asiaa eteenpäin parempaan suuntaan, ei suinkaan ole metamatematiikkaa tai filosofisoimista matematiikasta. Noh, ei ainakaan kokonaan, heh.
Numeroita määritellään oikeastaan mielestäni jotenkuten hyvin vain parilla hassulla tavalla, jotka nekään eivät oikein tunnu vakuuttavilta. Esimerkiksi Cauchyn ekvivalenssiluokkina määriteltyinä tahi Dedekindin leikkauksina. Nämä määritelmät otetaan hieman taas kuin oletuksina tai "pakottamisina" käyttöön kun halutaan määrittää jotain, jota ei ehkä vielä ainakaan osata määrittää. Haluatko numeron, joka on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin kaikki (reaali)luvut? Ei hätää, määritellään vain uusi objekti. Mielestäni matemaatikan ytimeen pitäisi iskeä ja opettaa enemmän sitä ydintä oppilaille.
Miten oppia, mitä numerot ovat? Olen itsekin vielä tällä tiellä ja otan ilolla vastaan kaiken informaation, linkit, videot, mitä vain kenellä tahansa lukijallani on ehdottaa minulle. Koulun oppikirjoista hädin tuskin löytyy mitään kovinkaan järkevää, joka kertoisi mistä kontinuumi koostuu, kuinka mallintaa sitä, mitä ovat reaaliluvut jne. Mistä sitten löytää jos ei edes oppikirjoista?! Toisaalta, miksi tämän pohjatiedon opetteleminen olisi edes tärkeää? Mitä teet jollain täydellisellä reaalilukujen määritelmällä? (Nämä olivat vain ilmaan heitettyjä ajatuskysymyksiä.)
Numeroita määritellään oikeastaan mielestäni jotenkuten hyvin vain parilla hassulla tavalla, jotka nekään eivät oikein tunnu vakuuttavilta. Esimerkiksi Cauchyn ekvivalenssiluokkina määriteltyinä tahi Dedekindin leikkauksina. Nämä määritelmät otetaan hieman taas kuin oletuksina tai "pakottamisina" käyttöön kun halutaan määrittää jotain, jota ei ehkä vielä ainakaan osata määrittää. Haluatko numeron, joka on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin kaikki (reaali)luvut? Ei hätää, määritellään vain uusi objekti. Mielestäni matemaatikan ytimeen pitäisi iskeä ja opettaa enemmän sitä ydintä oppilaille.
Miten oppia, mitä numerot ovat? Olen itsekin vielä tällä tiellä ja otan ilolla vastaan kaiken informaation, linkit, videot, mitä vain kenellä tahansa lukijallani on ehdottaa minulle. Koulun oppikirjoista hädin tuskin löytyy mitään kovinkaan järkevää, joka kertoisi mistä kontinuumi koostuu, kuinka mallintaa sitä, mitä ovat reaaliluvut jne. Mistä sitten löytää jos ei edes oppikirjoista?! Toisaalta, miksi tämän pohjatiedon opetteleminen olisi edes tärkeää? Mitä teet jollain täydellisellä reaalilukujen määritelmällä? (Nämä olivat vain ilmaan heitettyjä ajatuskysymyksiä.)
lauantai 11. lokakuuta 2014
Höpinää
Tervepä terve taasen!
Tuossa yksi päivä jo oikeastaan kai viikkoja sitten ajattelin yhtä hauskaa pulmallista juttua, joka sitten unohtui kunnes löysin lapun, johon olin asiasta kirjoittanut. Idea on tällainen, että otetaan vaikkapa luonnollisten lukujen (ääretön) joukko ja ekstraktoidaan siitä niin paljon elementtejä pois kuin vain mahdollista.
Onko järkevää ajatella, että jonkinlaisen metodin avulla, vaikkapa funktion/funktioiden ja iteraation avulla saataisiin joukko tyhjäksi - tai no en ajatellut ihan tyhjäksi. Se olisi mahdotonta, koska mielessäni ei ollut se, että elementtien poisto joukosta suoritettaisiin jonkinlaisilla äärettömyyksiin liittyvillä metodeilla. Kysymykseni siis kuuluu, että kuinka "tyhjäksi" joukko voidaan saada ja mikä olisi paras tapa tähän ekstraktioon?
Tuossa yksi päivä jo oikeastaan kai viikkoja sitten ajattelin yhtä hauskaa pulmallista juttua, joka sitten unohtui kunnes löysin lapun, johon olin asiasta kirjoittanut. Idea on tällainen, että otetaan vaikkapa luonnollisten lukujen (ääretön) joukko ja ekstraktoidaan siitä niin paljon elementtejä pois kuin vain mahdollista.
Onko järkevää ajatella, että jonkinlaisen metodin avulla, vaikkapa funktion/funktioiden ja iteraation avulla saataisiin joukko tyhjäksi - tai no en ajatellut ihan tyhjäksi. Se olisi mahdotonta, koska mielessäni ei ollut se, että elementtien poisto joukosta suoritettaisiin jonkinlaisilla äärettömyyksiin liittyvillä metodeilla. Kysymykseni siis kuuluu, että kuinka "tyhjäksi" joukko voidaan saada ja mikä olisi paras tapa tähän ekstraktioon?
maanantai 29. syyskuuta 2014
Ei mistään mitään
Kuinka generoida tyhjästä jotain? Joukko-oppi (engl. "set theory") tarjoaa siihen hauskan tavan. Jos joku tietää muita tapoja niin kertokaa ihmeessä?
S(0) = {∅} ("ei mitään"-joukko)
S(1) = {∅, {∅}} (joukko, joka sisältää ensimmäisen joukon sekä tyhjän joukon)
S(2) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
S(3) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}
....
(Ja niin eteenpäin, you get the drift.)
Toinen tapa:
0
10
1110
3110
132110
1113122110
311311222110
13211321322110
...
(Ja niin eteenpäin, you may not get the drift.)
Toinen esimerkki on Conwayn "look-and-say"-sekvenssin oma muotoiluni, joka alkaa ykkösen sijaan nollasta.
Suosittelen katsomaan tuohon liittyen Numberphilen Youtube-videon aiheesta, jossa John Conway mukana kertomassa siitä:
Look-and-Say Numbers (feat John Conway)
Hieman lisää:
Look-and-say sequence (Wikipedia)
Look and Say Sequence (Wolfram Mathworld)
Edittiä: Sain vinkin uuteen tapaan! Simppeliä:
0! = 1
S(0) = {∅} ("ei mitään"-joukko)
S(1) = {∅, {∅}} (joukko, joka sisältää ensimmäisen joukon sekä tyhjän joukon)
S(2) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
S(3) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}
....
(Ja niin eteenpäin, you get the drift.)
Toinen tapa:
0
10
1110
3110
132110
1113122110
311311222110
13211321322110
...
(Ja niin eteenpäin, you may not get the drift.)
Toinen esimerkki on Conwayn "look-and-say"-sekvenssin oma muotoiluni, joka alkaa ykkösen sijaan nollasta.
Suosittelen katsomaan tuohon liittyen Numberphilen Youtube-videon aiheesta, jossa John Conway mukana kertomassa siitä:
Look-and-Say Numbers (feat John Conway)
Hieman lisää:
Look-and-say sequence (Wikipedia)
Look and Say Sequence (Wolfram Mathworld)
Edittiä: Sain vinkin uuteen tapaan! Simppeliä:
0! = 1
Voiko numeron "repiä" halki?
Voiko numeron "repiä" halki? Tutkia sen sisuskaluja kuin miten biologian tunnilla tutkitaan sammakkoa avaamalla sammakko auki. Voiko numerolla n olla jonkinlainen intervalli itsensä sisällä? Numeroiden 0 ja 1 välille mahtuu yhden pituinen intervalli, joten voisi kuvitella, että numeroiden 1 ja 1 välille mahtuu nollan pituinen väli. Vai mahtuuko sinne kenties epsilonin välinen arvo?
http://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon_numbers_%28mathematics%29
Infinitesimaalisen pieni arvo.
Dedekindin leikkaus toimii nasevasti rationaalisten numeroiden suhteen, mutta kuuluisiko rationaalisia numeroita käsitellä kuin irrationaalisia numeroita Dedekindin leikkauksen suhteen? Rationaalisten numeroiden suhteen numeron määrittää Dedekindin leikkaus niin, että numero n määrittyy näin: Numero on n, jos se on seuraavien välissä: kaikki numeroa n pienemmät numerot ja luku itse ja kaikki sitä suuremmat numerot. Miksi sitten irrationaalisia numeroita käsitellään erilailla Dedekindin leikkauksissa: numero n on sen mukaan aukko lukujonossa; se määrittäytyy muuten samoin kuin rationaalinen luku, mutta kaikki sitä irrationaalista suuremmat luvut ovat ainoastaan jälkimmäisessä puoliskossa, eli ei lukua itsessään siinä.
Jos ajattelee, että irrationaaliset luvut ovat aukkoja lukujonossa ja siten niillä ei olisi ikäänkuin minkäänlaista pituutta itse numerolla. Voisiko täten rationaalisilla luvuilla olla jonkinlainen pituus sisällänsä jos ne eivät ole aukkoja lukujonossa? Mitä tarkoittaa, että sanotaan että irrationaaliset luvut ovat aukkoja lukujonossa? Että ne eivät ole osa sitä? Onko jokainen numero vain nollaulotteinen piste, joka ei pidä itse itsessään mitään sisällä? Mitä numeron pitäisi pitää sisällänsä? Onko se vain abstrakti notaatio?
Tuntuu vaikealta kirjoittaa näin kun sen saisi niin helposti havainnollistettua piirtämällä.
http://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon_numbers_%28mathematics%29
Infinitesimaalisen pieni arvo.
Dedekindin leikkaus toimii nasevasti rationaalisten numeroiden suhteen, mutta kuuluisiko rationaalisia numeroita käsitellä kuin irrationaalisia numeroita Dedekindin leikkauksen suhteen? Rationaalisten numeroiden suhteen numeron määrittää Dedekindin leikkaus niin, että numero n määrittyy näin: Numero on n, jos se on seuraavien välissä: kaikki numeroa n pienemmät numerot ja luku itse ja kaikki sitä suuremmat numerot. Miksi sitten irrationaalisia numeroita käsitellään erilailla Dedekindin leikkauksissa: numero n on sen mukaan aukko lukujonossa; se määrittäytyy muuten samoin kuin rationaalinen luku, mutta kaikki sitä irrationaalista suuremmat luvut ovat ainoastaan jälkimmäisessä puoliskossa, eli ei lukua itsessään siinä.
Jos ajattelee, että irrationaaliset luvut ovat aukkoja lukujonossa ja siten niillä ei olisi ikäänkuin minkäänlaista pituutta itse numerolla. Voisiko täten rationaalisilla luvuilla olla jonkinlainen pituus sisällänsä jos ne eivät ole aukkoja lukujonossa? Mitä tarkoittaa, että sanotaan että irrationaaliset luvut ovat aukkoja lukujonossa? Että ne eivät ole osa sitä? Onko jokainen numero vain nollaulotteinen piste, joka ei pidä itse itsessään mitään sisällä? Mitä numeron pitäisi pitää sisällänsä? Onko se vain abstrakti notaatio?
Tuntuu vaikealta kirjoittaa näin kun sen saisi niin helposti havainnollistettua piirtämällä.
sunnuntai 28. syyskuuta 2014
Matematiikka-aiheisia Android-pelejä
Tervehdys taasen. Tänään hieman omia kokemuksia matematiikka-aiheisista Android-peleistä (kutsuttakoon tästä edespäin MAAP:eiksi). Suurin osa näistä peleistä ikävä kyllä vain testaavat laskutaitoa ja yleensä vielä aina mukana on aikarajoite, joka ainakin minua varsin paljon ketuttaa. Miksi sitä taimeria/aikarajoitetta aina ängetään mukaan?!
(Huom. kaikki tässä mainitsemani pelit ovat ilmaisia ja saatavilla Google Play-kaupasta.)
Okei, ensimmäisenä peli King of Math. Paljon osioita, mutta joutuu etenemään osio osiolta eteenpäin, joka ei ole oikein toimivaa/hauskaa mielestäni. Jotta pystyt käymään eksponenttien kimppuun, täytyy ensin raivata pois alta hirveästi kaikkea muuta; yhteenlaskua, vähennyslaskua jne. Lisäksi mukana on aikarajoite - aina. Tästä pelistä ei paljoa hauskuutta saa irti, ellei ole hyvä päässälaskija.
Muita vastaavanlaisia pelejä, joita olen hyvin lyhyesti kokeillut ovat Math Workout, Math Tricks ja Math Quiz. En näistä nyt osaa oikein mitään sanoa, kun en niitä ole kunnolla pelannut.
Seuraavaksi vuorossa peli nimeltä Sumico. Tässä on mielestäni aika toimiva konsepti pelille ja paljon pitkäikäisempi kuin esim. tuo King of Math. Ruudulle popsahtaa iso kasa numeroita ja laskutoimitusmerkkejä. Sinun täytyy numeroita ja laskutoimituksia yhdistelemällä päästä eteenpäin ja saada aina tietyt numerot kerättyä. Jos pyydetään numeroa 4 ja ruudulla on 2, + ja 2 vierekkäin jotenkuten niin sweeppaat sormella reitin ja keräät pojot kotiin. Bonuksena ettei mainoksia näy.
Seuraavana Number Toss P... (nimi ei mahdu ruudulle enkä löytänyt pelin nimeä nyt pikaisella katsomisella). En ole jaksanut oikein perehtyä kunnolla tähän, muttei nyt miltään kovin ihmeelliseltä vaikuta.
Viimeisenä triviapeli QuizUp, jossa on monta matematiikkaan liittyvää triviaa: Mathematics, Math: Hard, Math: Easy ja Math: General. Olen pelannut tätä kaikista näistä peleistä eniten ja varsinkin tuota pelkkää Mathematics-osiota. Pääsee pelaamaan muita ihmisiä vastaan aina 7 kysymyksen verran. Mathematics-triviassa (joka muistaakseni löytyy tiede-aiheisista trivioista) kysytään eniten vain sanallisia ja matematiikan historiaan liittyviä faktoja ja paljon vähemmän itse mitään laskutoimituksia (itse asiassa ei oikeastaan ollenkaan). Math: Hard on vaikea nimensä mukaisesti ja Math: Easy vähän helpompi. Kummassakin noissa hieman päässälaskukysymyksiä. Math: General -triviassa on VAIN päässälaskua, jonka takia en siitä oikein tykkää. Overall mielestäni huikea peli kokonaisuudessaan. Triviaosioita on satoja ja kuten näkyy, jo matematiikkaan liittyviä trivioita on 4. Isoin suosittelu tälle.
Unohtui viimeksi kirjoittaa tämä, mutta QuizUpissa ei myöskään mainoksia ole!
Siinä se.
(Huom. kaikki tässä mainitsemani pelit ovat ilmaisia ja saatavilla Google Play-kaupasta.)
Okei, ensimmäisenä peli King of Math. Paljon osioita, mutta joutuu etenemään osio osiolta eteenpäin, joka ei ole oikein toimivaa/hauskaa mielestäni. Jotta pystyt käymään eksponenttien kimppuun, täytyy ensin raivata pois alta hirveästi kaikkea muuta; yhteenlaskua, vähennyslaskua jne. Lisäksi mukana on aikarajoite - aina. Tästä pelistä ei paljoa hauskuutta saa irti, ellei ole hyvä päässälaskija.
Muita vastaavanlaisia pelejä, joita olen hyvin lyhyesti kokeillut ovat Math Workout, Math Tricks ja Math Quiz. En näistä nyt osaa oikein mitään sanoa, kun en niitä ole kunnolla pelannut.
Seuraavaksi vuorossa peli nimeltä Sumico. Tässä on mielestäni aika toimiva konsepti pelille ja paljon pitkäikäisempi kuin esim. tuo King of Math. Ruudulle popsahtaa iso kasa numeroita ja laskutoimitusmerkkejä. Sinun täytyy numeroita ja laskutoimituksia yhdistelemällä päästä eteenpäin ja saada aina tietyt numerot kerättyä. Jos pyydetään numeroa 4 ja ruudulla on 2, + ja 2 vierekkäin jotenkuten niin sweeppaat sormella reitin ja keräät pojot kotiin. Bonuksena ettei mainoksia näy.
Seuraavana Number Toss P... (nimi ei mahdu ruudulle enkä löytänyt pelin nimeä nyt pikaisella katsomisella). En ole jaksanut oikein perehtyä kunnolla tähän, muttei nyt miltään kovin ihmeelliseltä vaikuta.
Viimeisenä triviapeli QuizUp, jossa on monta matematiikkaan liittyvää triviaa: Mathematics, Math: Hard, Math: Easy ja Math: General. Olen pelannut tätä kaikista näistä peleistä eniten ja varsinkin tuota pelkkää Mathematics-osiota. Pääsee pelaamaan muita ihmisiä vastaan aina 7 kysymyksen verran. Mathematics-triviassa (joka muistaakseni löytyy tiede-aiheisista trivioista) kysytään eniten vain sanallisia ja matematiikan historiaan liittyviä faktoja ja paljon vähemmän itse mitään laskutoimituksia (itse asiassa ei oikeastaan ollenkaan). Math: Hard on vaikea nimensä mukaisesti ja Math: Easy vähän helpompi. Kummassakin noissa hieman päässälaskukysymyksiä. Math: General -triviassa on VAIN päässälaskua, jonka takia en siitä oikein tykkää. Overall mielestäni huikea peli kokonaisuudessaan. Triviaosioita on satoja ja kuten näkyy, jo matematiikkaan liittyviä trivioita on 4. Isoin suosittelu tälle.
Unohtui viimeksi kirjoittaa tämä, mutta QuizUpissa ei myöskään mainoksia ole!
Siinä se.
lauantai 27. syyskuuta 2014
SuomiSarja
SuomiSarja(n) = SS(n)
Määritelmä: SS(n) = kuinka monta kirjainta suomenkielisessä kyseisen numeron n sanassa on.
SS(1) = Yksi 4
SS(2) = Kaksi 5
SS(3) = Kolme 5
SS(4) = Neljä 5
SS(5) = Viisi 5
SS(6) = Kuusi 5
SS(7) = Seitsemän 9
SS(8) = Kahdeksan 9
SS(9) = Yhdeksän 8
SS(10) = Kymmenen 7
SS(12) = Yksitoista 10
SS(13) = Kolmetoista 11
SS(14) = Neljätoista 11
SS(15) = Viisitoista 11
SS(16) = Kuusitoista 11
SS(17) = Seitsemäntoista 15
SS(18) = Kahdeksantoista 15
SS(19) = Yhdeksäntoista 14
SS(20) = Kaksikymmentä 13
Määritelmä: SS(n) = kuinka monta kirjainta suomenkielisessä kyseisen numeron n sanassa on.
SS(1) = Yksi 4
SS(2) = Kaksi 5
SS(3) = Kolme 5
SS(4) = Neljä 5
SS(5) = Viisi 5
SS(6) = Kuusi 5
SS(7) = Seitsemän 9
SS(8) = Kahdeksan 9
SS(9) = Yhdeksän 8
SS(10) = Kymmenen 7
SS(12) = Yksitoista 10
SS(13) = Kolmetoista 11
SS(14) = Neljätoista 11
SS(15) = Viisitoista 11
SS(16) = Kuusitoista 11
SS(17) = Seitsemäntoista 15
SS(18) = Kahdeksantoista 15
SS(19) = Yhdeksäntoista 14
SS(20) = Kaksikymmentä 13
perjantai 26. syyskuuta 2014
Ei mitään
No niin, enpä ole taas kirjoitellut toviin mitään, joten kirjoitan nyt lyhyesti jotain jostain. Tai no, jotain matematiikasta. Tai oikeastaan voisin listata tähän kysymyksiä, mihin haluan vastauksen.
1. Miksi en löydä informaatiota, tai vaihtoehtoisesti en osaa etsiä, tähän kysymykseen vastausta: onko numerolle 1 olemassa vaihtoehtoinen neliöjuuri, joka ei ole itse numero 1.
Eräässä Numberphilen videossa kyseltiin tiede-Youtubettajien lempinumeroita ja olikohan se minutephysicsin takana oleva tyyppi, joka sanoi lempinumeronsa olevan j. Tämän j:n ominaisuus oli juuri tuo, hänen mukaansa; neliöjuuri luvulle 1, mutta joka ei kuitenkaan ole luku 1 itse. Tulee ihan mieleen imaginaariyksikkö, mutta en löydä tästä jiistä oikein infoa mitään googlailemalla. No, kai sitä voidaan siten myös luoda muillekin luvuille imaginaarinen neliöjuuri. Mutta toisaalta -1:lle ei ole reaalilukua, joka toimisi sen neliöjuurena, joten voisiko vastaavanlainen olla käänteisesti totta reaaliluvuille? Että niille ei edes olisi olemassa mitään muuta neliöjuurta kuin jokin reaaliluku.
No, nyt aloin höpistä reaaliluvuista. Tuli mieleen, voiko piillä olla periaatteessa neliöjuurta. No, saman tien voidaan kysyä että miksi sitten koko pii olisi muutoin kuin symbolina "olemassa".
2. Miten löydän hyvän selityksen sille, mikä tai mitä TREE(3) on? Eli kyseessä on siis supersuuri luku, josta löytää helposti informaatiota googlaamalla, mutta en löydä mitään, minkä luettuani ymmärtäisin edes kaukaisesti minkälaisesta numerosta on kyse. Usein mietitään näitä suuria lukuja, miksei joskus pieniä?
1. Miksi en löydä informaatiota, tai vaihtoehtoisesti en osaa etsiä, tähän kysymykseen vastausta: onko numerolle 1 olemassa vaihtoehtoinen neliöjuuri, joka ei ole itse numero 1.
Eräässä Numberphilen videossa kyseltiin tiede-Youtubettajien lempinumeroita ja olikohan se minutephysicsin takana oleva tyyppi, joka sanoi lempinumeronsa olevan j. Tämän j:n ominaisuus oli juuri tuo, hänen mukaansa; neliöjuuri luvulle 1, mutta joka ei kuitenkaan ole luku 1 itse. Tulee ihan mieleen imaginaariyksikkö, mutta en löydä tästä jiistä oikein infoa mitään googlailemalla. No, kai sitä voidaan siten myös luoda muillekin luvuille imaginaarinen neliöjuuri. Mutta toisaalta -1:lle ei ole reaalilukua, joka toimisi sen neliöjuurena, joten voisiko vastaavanlainen olla käänteisesti totta reaaliluvuille? Että niille ei edes olisi olemassa mitään muuta neliöjuurta kuin jokin reaaliluku.
No, nyt aloin höpistä reaaliluvuista. Tuli mieleen, voiko piillä olla periaatteessa neliöjuurta. No, saman tien voidaan kysyä että miksi sitten koko pii olisi muutoin kuin symbolina "olemassa".
2. Miten löydän hyvän selityksen sille, mikä tai mitä TREE(3) on? Eli kyseessä on siis supersuuri luku, josta löytää helposti informaatiota googlaamalla, mutta en löydä mitään, minkä luettuani ymmärtäisin edes kaukaisesti minkälaisesta numerosta on kyse. Usein mietitään näitä suuria lukuja, miksei joskus pieniä?
torstai 7. elokuuta 2014
Pieni löytö
Moro taasen!
En ole keksinyt oikein aiheita kirjoitella, joten on ollut senkin takia hiljaista. Ajattelin kuitenkin nyt lyhyesti mainita tällaisen pienen löydön ja siitä syntyneen mielenkiinnon kipinän nousemisen.
Kokeilin tehdä numerosarjan joillain tietyillä säännöillä ja tämä, jonka nyt tein on aika simppeli. Kutsun sitä nimellä... tai itse asiassa sillä ei ole nimeä, vain symbolit. Eli siis kun faktoriaali on pelkkä "!", on minun laskutoimitukseni symboli hieman humoristisesti "!?". Ja se toimii näin:
1!? 1/1 = 1
2!? 2x2x1x1/4 = 1
3!? 3x3x2x2x1x1/6 = 6
4!? 4x4x3x3x2x2x1x1/8 = 72
5!? 5x5x4x4x3x3x2x2x1x1/10 = 1440
6!? 6x6x5x5x4x4x3x3x2x2x1x1x/12 = 43200
Eli jokainen numero toistetaan kahdesti ja lopputulos jaetaan termien määrällä. (Ja koska termejä tulee 2 aina lisää edelliseen nähden, nousevat jakajat aritmeettisesti aina kahdella.)
Sitten laitoin tämän sarjan Googleen ja löysin OEIS-linkit, joissa oli mainittu nämä luvut. Etenkin tässä:
http://oeis.org/A091543/table
Kolmas rivi näyttää suoraan luomani numerot ja lisääkin. Mutta en ymmärrä miten nuo numerot toimivat, mistä ne tulevat, miten ne luodaan. OEIS-kuvauksessa lukee näin:
Ja en ikävä kyllä ymmärrä tuosta mitään. Ainakaan vielä. No, täytyypä kokeilla kaikin eri metodein luoda erilaisia numerosarjoja ja katsoa miten ne putkahtavat OEIS:stä esiin. Mielenkiintoista, mielenkiintoista.
En ole keksinyt oikein aiheita kirjoitella, joten on ollut senkin takia hiljaista. Ajattelin kuitenkin nyt lyhyesti mainita tällaisen pienen löydön ja siitä syntyneen mielenkiinnon kipinän nousemisen.
Kokeilin tehdä numerosarjan joillain tietyillä säännöillä ja tämä, jonka nyt tein on aika simppeli. Kutsun sitä nimellä... tai itse asiassa sillä ei ole nimeä, vain symbolit. Eli siis kun faktoriaali on pelkkä "!", on minun laskutoimitukseni symboli hieman humoristisesti "!?". Ja se toimii näin:
1!? 1/1 = 1
2!? 2x2x1x1/4 = 1
3!? 3x3x2x2x1x1/6 = 6
4!? 4x4x3x3x2x2x1x1/8 = 72
5!? 5x5x4x4x3x3x2x2x1x1/10 = 1440
6!? 6x6x5x5x4x4x3x3x2x2x1x1x/12 = 43200
Eli jokainen numero toistetaan kahdesti ja lopputulos jaetaan termien määrällä. (Ja koska termejä tulee 2 aina lisää edelliseen nähden, nousevat jakajat aritmeettisesti aina kahdella.)
Sitten laitoin tämän sarjan Googleen ja löysin OEIS-linkit, joissa oli mainittu nämä luvut. Etenkin tässä:
http://oeis.org/A091543/table
Kolmas rivi näyttää suoraan luomani numerot ja lisääkin. Mutta en ymmärrä miten nuo numerot toimivat, mistä ne tulevat, miten ne luodaan. OEIS-kuvauksessa lukee näin:
Triangle built from first column sequences of generalized Stirling2 arrays (m+2,2)-Stirling2, m>=0.
Ja en ikävä kyllä ymmärrä tuosta mitään. Ainakaan vielä. No, täytyypä kokeilla kaikin eri metodein luoda erilaisia numerosarjoja ja katsoa miten ne putkahtavat OEIS:stä esiin. Mielenkiintoista, mielenkiintoista.
tiistai 15. heinäkuuta 2014
Mitä matematiikka on?
Alkumaininnat
Tämä blogikirjoitus koskee omia mielipiteitäni matematiikasta. Jokaisella on oma perspektiivi siitä, mitä matematiikka on. Matematiikka on monien mielestä hieman "pelottava" aihe, varsinkin koulussa oppilaiden suhteen. Mielestäni alemmissa kouluissa (ala- ja yläaste) matematiikkaa ei opeteta kovinkaan fundamentaalisesti, vaan oppiminen tapahtuu lähinnä muistisääntöjen avulla, joka on vastakkainen suuntaus siihen tapaan opiskella, jossa käytetään muistin sijaan (muistia ja muistisääntöjä yhtään väheksymättä) luovuutta. Miksi joku on mitäkin? Miksi jokin tietty binomiaalinen (englannista suomeksi kun en nyt sattumoisin tiedä suomen sanaa sille) polynomi kerrotaan keskenään jollain tietyllä tavalla? Syyt tapahtumille pitäisi tietää (verrattuna siihen, että opetellaan mitä jokin tapahtuma on).Kysymykset, jotka esitin äskeisen paragrafin lopussa, ovat fundamentaalisempi tapa totuttaa opiskelijat matematiikan taianomaiseen maailmaan. Numeroissa ja numerosarjoissa on kuvioita (engl. pattern; parempi sana englantisoituna), kiehtovia moisia. Oppilaille tulisi tuoda ilmi matematiikan lähes "spiritualistista" puolta, joka varmasti toimisi vahvana katalysaattorina luoda enemmän matemaattisia neroja. Kuinka paljon Suomessa on matemaattisia neroja? En osaa nimetä ketään. Ehkä niitä on, mutta en ole tutkinut asiaa sen tarkemmin. En oikein tiedä tästä asiasta tarpeeksi, että voisin kertoilla siitä oikein mitään, mutta tuo nyt tuli kaikki kielen/mielen päältä melko spontaanisti.
Mitä matematiikka on?
Seuraavaa on kysytty monasti: Onko ihminen keksinyt matematiikan vai onko se aina ollut olemassa? Toisin sanoen, jos matematiikkaa ei olisi reaalimaailmassa ole ollut (ja väitän tosin että on) niin onko ihminen keksinyt pelinomaisesti matematiikan? Oikeastaan tässä kohtaa voisi sanoa, että matematiikassa on hyvin paljon kehitelmiä kehitelmien päälle ja kohtaako ne mitenkään yleisesti vaikkapa Universumiin? Matematiikan perusblokit ja niistä kehitetyt mitä erilaisimmat konjektuurit, teoreemat, hypoteesit jne. jne., mitä korkeammille tasoille mennään, mielestäni kyllä kohtaavat reaalimaailman. Mutta mielipide on mielipide, ei minulla mitään kovin konkreettista "todistetta" itselläni tälle mielipiteelle ole. Jossain Numberphilen videossa yksi tyyppi sanoi, että Universumi vaikuttaa siltä, että se on rakennettu enemmän kompleksinumeroiden varaan kuin, noh, norminumeroiden.
Poincaren konjektuuri, jonka omalaatuinen matemaattinen nero Grigori Perelman todisti oikeaksi vuonna 2002, käsittelee aiheita, jotka koskettavat universumin rakennetta. (Sivunoottina tähän; Hamilton loi pohjan Perelmanille ja jonkun kiinalaisen matemaatikon mielipide oli, että he olivat myös kontribuutanneet tähän, mutta matemaattisessa maailmassa on hiljainen sääntö sille, että kunnian saa se, joka ylittää maaliviivan.)
Lukuteorian suhteen on suuria aplikaatioita kryptografiassa; kun menet Otto-automaatille, on lukuteoria käynnissä konkreettisesti. (Tämä liittyy faktorisoimiseen, alkuluvuiksi jakamiseen.) Tietysti monia ja monia muita applikaatioita (kirjoitetaanko tuo englanninsuomeksi kahdella p:llä?) tulee reaalimaailmaan käytöntöön.
Mutta käytäntö ja teoreettinen, esim. lukuteoria, ovat kuitenkin lopulta melko kaksijakoisia. Toisaalta rekreationaalisesta matematiikasta varmasti on tullut jonkinlaisia aplikaatioita (vaihteeksi yhdellä p:llä) tähän oikeaan maailmaan, Tellukseen.
Teoreettinen ja rekreationaalinen (kutsun tässä yhteydessä rekreationaaliseksi mm. lukuteorian erinäisiä alueita, "brancheja". Tosin vain pieni osa matemaatikoista leikkii numeroilla ihan vaan leikkimisen takia, ihan vain sen takia kun niin voi tehdä. Ja uskon, että kaikenlaisesta matemaattisesta touhusta voi olla lopulta hyötyä reaalimaaailmassa. Tietysti on.
Satunnaista 2
Perfect digit-to-digit invariant (Wikipedia)
http://mathworld.wolfram.com/MuenchhausenNumber.html
Mietin tässä miksi jollekin lähes täysin turhalle lukuteoreettiselle numerokikkailulle on niin monta erilaista termiä?! Ylläolevat linkit käsittelevät samaa asiaa ja yhteensä erilaisia termejä samalla (turhalle) jutulle on 1) perfect digit-to-digit invariant / 1½) (PDDI), 2) Canouchi-luku, 3) Münchhausen-luku ja ihan vaan 3,5) Münchausen-luku.
Sloanen lukusarjasaitilta tuo löytyy osoitteesta http://oeis.org/A046253 ja näemmä siellä listattuna mukaan triviaalit nolla-nollaan eksponenttiluvut (joka ei ole oikein!).
Narsistiset luvut ovat aika samaa luokkaa. Aika turhia pieniä hauskuutuksia.
http://mathworld.wolfram.com/MuenchhausenNumber.html
Mietin tässä miksi jollekin lähes täysin turhalle lukuteoreettiselle numerokikkailulle on niin monta erilaista termiä?! Ylläolevat linkit käsittelevät samaa asiaa ja yhteensä erilaisia termejä samalla (turhalle) jutulle on 1) perfect digit-to-digit invariant / 1½) (PDDI), 2) Canouchi-luku, 3) Münchhausen-luku ja ihan vaan 3,5) Münchausen-luku.
Sloanen lukusarjasaitilta tuo löytyy osoitteesta http://oeis.org/A046253 ja näemmä siellä listattuna mukaan triviaalit nolla-nollaan eksponenttiluvut (joka ei ole oikein!).
Narsistiset luvut ovat aika samaa luokkaa. Aika turhia pieniä hauskuutuksia.
maanantai 14. heinäkuuta 2014
Satunnaista.
Hoi!
En ole viikkoon kirjoittanut tänne, joten kaipa voisin hieman pakolla rustata jotain. Paljon on taas tullut hyvin sekalaisesti tutkittua matematiikkaa viikon aikana ja paljon myös mennyt muuhun aikaa, joten mitään kovin syvällistä/mielenkiintoista en nyt oikein tunnu päästäni saavan irti. Yhä mietin, miten pitkälle voi päästä ilman "virallista" matematiikan opetusta (opistoissa käymistä). Mutta mikäs siinä, kyllä se tieto akkumuloituu varmasti jonkin verran ja hyvin pieniä nootteja olen pistänyt aika ajoin ylös lektuureja jne. katsellessa sen varalta, ettei jotkut basic tiedonjyväset pääse unohtumaan. Pari hyvin pientä ajatusta, jotka kävivät aiemmin päässä:
Matematiikka on logiikkaa ja ehkä myös jonkin sortin eskapismia? Maailmalla tapahtuu kaikenlaista, mutta jos kaikki keskittyisivät enemmän oleelliseen, niin ei olisi niin paljon murheita. Palestiinalaiset ja israelilaiset ovat hyvin kireissä väleissä ja niin on myös ollut jo pidempään Ukrainan ja Venäjän - ja ehkäpä muidenkin nimeltämainitsemattomien valtioiden suhteen. Tuo "enemmän oleelliseen" ei tarkoita matematiikkaa, näin tarkennukseksi. Se kuulostaisi täysin hullulta. "Keskittykää kaikki vaan matematiikkaan sotimisen sijaan!" No jooh. Jääköön itse kullekin ylläkirjoitettujen ajatusten tulkitseminen.
Wordz
Otsikon mukaisest kirjoittelen hieman sekalaisesti nyt kaikesta. Aapelin (www.aapeli.com) sanapeli Wordzissa kirjaimet jakautuvat seuraavanlaisesti:
A: 10 kpl. (A:n pistearvo on 1 piste.)
B: 1 kpl. (B:n pistearvo on 10 pistettä.)
D: 1 kpl. (D:n pistearvo on 7 pistettä.)
E: 8 kpl. (E:n pistearvo on 1 piste.)
F: 1 kpl. (F:n pistearvo on 10 pistettä.)
G: 1 kpl. (G:n pistearvo on 10 pistettä.)
H: 2 kpl. (H:n pistearvo on 4 pistettä.)
I: 10 kpl. (I:n pistearvo on 1 piste.)
J: 2 kpl. (Jiin pistearvo on 4 pistettä.)
K: 6 kpl. (K:n pistearvo on 1 piste.)
L: 5 kpl. (L:n pistearvo on 2 pistettä.)
M: 4 kpl. (M:n pistearvo on 3 pistettä.)
N: 7 kpl. (N:n pistearvo on 1 piste.)
O: 5 kpl. (O:n pistearvo on 1 piste.)
P: 3 kpl. (P:n pistearvo on 3 pistettä.)
R: 3 kpl. (R:n pistearvo on 3 pistettä.)
S: 6 kpl. (S:n pistearvo on 1 piste.)
T: 9 kpl. (T:n pistearvo on 1 piste.)
U: 5 kpl. (U:n pistearvo on 2 pistettä.)
V: 3 kpl. (V:n pistearvo on 3 pistettä.)
Y: 2 kpl. (Y:n pistearvo on 4 pistettä.)
Ä: 3 kpl. (Ä:n pistearvo on 2 pistettä.)
Ö: 1 kpl. (Ö:n pistearvo on 8 pistettä.)
Jokeri: 2 kpl. (Jokerin pistearvo on 0 pistettä.)
Jokerilla voi käyttää myös kirjaimia C, Z, Q, X ja Å, joista ei ikävä kyllä saa yhtään pistettä (vaikka mielestäni pitäisi, koska ovat sen verran vaikeita käyttää). Pelilaudalla on 7 kirjainta käytettävissä ja jos käyttää kaikki pois, saa 50 pisteen bonuksen (paitsi ihan ensimmäisellä sanalaitolla). Paras aloitussana siten pelissä on luultavasti BELGRAD, josta saa 34 * 2 (sana menee kahden kertoimeen) = 68 pistettä. Kirjaimesta saa keskimäärin 3,458333... pistettä. Mjaah. Mitäköhän sitä kaikkea voisi noista numeroista kokkailla (ja pelistä ylipäätänsä), en jaksa enempää tästä aiheesta.
Neliöt päässä, Pascalin kolmiosta sekä pii-aiheisia kaavoja
Art Benjamin esittää loistavan ja helpon metodin neliöiden laskemiselle päässä, jolla voit esittää matemaattista nerokkuuttasi kenelle tahansa. Mutta miksi sitä tähän kaikkea kirjoittaa kun video on tuubissa ja vie ~12 minuuttia aikaa katsoa:
Seuraava linkki esittää Pascalin kolmion rikkautta, kannattaa ehdottomasti tutustua:
http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html
Liittyen tuohon; Pascalin pyramidi (3-ulotteinen versio Pascalin kolmiosta):
http://buckydome.com/math/Article2.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_pyramid
Ja seuraavassa linkissä runsaasti erilaisia pii-aiheisia kaavoja. Haluaisin itse luoda ihan minkä vain uuden pii-aiheisen kaavan, mutta en tiedä miten edes aloittaisin operaation. Skillit hieman vajavaiset. Nuo, mitä tuolla sivulla on menevät monet todella monimutkaisiksi; ymmärrän kyllä miten ne toimivat, mutta sitä en ymmärrä miten ne on löydetty...
http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
En ole viikkoon kirjoittanut tänne, joten kaipa voisin hieman pakolla rustata jotain. Paljon on taas tullut hyvin sekalaisesti tutkittua matematiikkaa viikon aikana ja paljon myös mennyt muuhun aikaa, joten mitään kovin syvällistä/mielenkiintoista en nyt oikein tunnu päästäni saavan irti. Yhä mietin, miten pitkälle voi päästä ilman "virallista" matematiikan opetusta (opistoissa käymistä). Mutta mikäs siinä, kyllä se tieto akkumuloituu varmasti jonkin verran ja hyvin pieniä nootteja olen pistänyt aika ajoin ylös lektuureja jne. katsellessa sen varalta, ettei jotkut basic tiedonjyväset pääse unohtumaan. Pari hyvin pientä ajatusta, jotka kävivät aiemmin päässä:
Matematiikka on logiikkaa ja ehkä myös jonkin sortin eskapismia? Maailmalla tapahtuu kaikenlaista, mutta jos kaikki keskittyisivät enemmän oleelliseen, niin ei olisi niin paljon murheita. Palestiinalaiset ja israelilaiset ovat hyvin kireissä väleissä ja niin on myös ollut jo pidempään Ukrainan ja Venäjän - ja ehkäpä muidenkin nimeltämainitsemattomien valtioiden suhteen. Tuo "enemmän oleelliseen" ei tarkoita matematiikkaa, näin tarkennukseksi. Se kuulostaisi täysin hullulta. "Keskittykää kaikki vaan matematiikkaan sotimisen sijaan!" No jooh. Jääköön itse kullekin ylläkirjoitettujen ajatusten tulkitseminen.
Wordz
Otsikon mukaisest kirjoittelen hieman sekalaisesti nyt kaikesta. Aapelin (www.aapeli.com) sanapeli Wordzissa kirjaimet jakautuvat seuraavanlaisesti:
A: 10 kpl. (A:n pistearvo on 1 piste.)
B: 1 kpl. (B:n pistearvo on 10 pistettä.)
D: 1 kpl. (D:n pistearvo on 7 pistettä.)
E: 8 kpl. (E:n pistearvo on 1 piste.)
F: 1 kpl. (F:n pistearvo on 10 pistettä.)
G: 1 kpl. (G:n pistearvo on 10 pistettä.)
H: 2 kpl. (H:n pistearvo on 4 pistettä.)
I: 10 kpl. (I:n pistearvo on 1 piste.)
J: 2 kpl. (Jiin pistearvo on 4 pistettä.)
K: 6 kpl. (K:n pistearvo on 1 piste.)
L: 5 kpl. (L:n pistearvo on 2 pistettä.)
M: 4 kpl. (M:n pistearvo on 3 pistettä.)
N: 7 kpl. (N:n pistearvo on 1 piste.)
O: 5 kpl. (O:n pistearvo on 1 piste.)
P: 3 kpl. (P:n pistearvo on 3 pistettä.)
R: 3 kpl. (R:n pistearvo on 3 pistettä.)
S: 6 kpl. (S:n pistearvo on 1 piste.)
T: 9 kpl. (T:n pistearvo on 1 piste.)
U: 5 kpl. (U:n pistearvo on 2 pistettä.)
V: 3 kpl. (V:n pistearvo on 3 pistettä.)
Y: 2 kpl. (Y:n pistearvo on 4 pistettä.)
Ä: 3 kpl. (Ä:n pistearvo on 2 pistettä.)
Ö: 1 kpl. (Ö:n pistearvo on 8 pistettä.)
Jokeri: 2 kpl. (Jokerin pistearvo on 0 pistettä.)
Jokerilla voi käyttää myös kirjaimia C, Z, Q, X ja Å, joista ei ikävä kyllä saa yhtään pistettä (vaikka mielestäni pitäisi, koska ovat sen verran vaikeita käyttää). Pelilaudalla on 7 kirjainta käytettävissä ja jos käyttää kaikki pois, saa 50 pisteen bonuksen (paitsi ihan ensimmäisellä sanalaitolla). Paras aloitussana siten pelissä on luultavasti BELGRAD, josta saa 34 * 2 (sana menee kahden kertoimeen) = 68 pistettä. Kirjaimesta saa keskimäärin 3,458333... pistettä. Mjaah. Mitäköhän sitä kaikkea voisi noista numeroista kokkailla (ja pelistä ylipäätänsä), en jaksa enempää tästä aiheesta.
Neliöt päässä, Pascalin kolmiosta sekä pii-aiheisia kaavoja
Art Benjamin esittää loistavan ja helpon metodin neliöiden laskemiselle päässä, jolla voit esittää matemaattista nerokkuuttasi kenelle tahansa. Mutta miksi sitä tähän kaikkea kirjoittaa kun video on tuubissa ja vie ~12 minuuttia aikaa katsoa:
Seuraava linkki esittää Pascalin kolmion rikkautta, kannattaa ehdottomasti tutustua:
http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html
Liittyen tuohon; Pascalin pyramidi (3-ulotteinen versio Pascalin kolmiosta):
http://buckydome.com/math/Article2.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_pyramid
Ja seuraavassa linkissä runsaasti erilaisia pii-aiheisia kaavoja. Haluaisin itse luoda ihan minkä vain uuden pii-aiheisen kaavan, mutta en tiedä miten edes aloittaisin operaation. Skillit hieman vajavaiset. Nuo, mitä tuolla sivulla on menevät monet todella monimutkaisiksi; ymmärrän kyllä miten ne toimivat, mutta sitä en ymmärrä miten ne on löydetty...
http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
maanantai 7. heinäkuuta 2014
Linkkilistoja!
Alkumaininnat
Kuten mainitsin edellisessä merkinnässäni, oli yksi tarkoituksistani listata linkkejä, joista on itselleni ollut hyötyä, mielenkiintoa ja oppia henk. koht. minulle opiskellessani numeroiden maailmaa, erityisesti numeroteoriaa (lukuteoriaa).
Linkit
TTC:n lektuurit
Ensimmäisenä heti tulee mieleen muutama varsin kattava videolektuurisarja. Maininnan arvoisia ovat mm. nämä pari maksullista TTC:n (The Teaching Company) luentosarjaa, jotka koostuvat 24:stä osasta (~30 min. per lektuuri, eli yhteensä noin 12 tuntia audiovisuaalista numeroiden ihmeellisen maailman tutkimista). Professori Edward Burgerin presentaatiot ovat selkeitä ja hyvin kattavia (hän, "Ed" Burger", on luentojen pitäjä kummassakin videosarjassa).
(Linkit avautuvat uuteen ikkunaan, joten don't worry 'bout a thing.)
Jo pelkästään nämä kaksi kurssia tarjoavat ~24 oppituntia yhteensä. TTC tarjoaa kattavasti opetussarjoja mitä erinäisimmistä aiheista, mutta en ole perehtynyt tarkemmin heidän valikoimaansa. Nämä luentosarjat luonnollisesti maksavat, mutta ovat ehdottomasti sen väärti jos olet kiinnostunut aiheesta. Ed Burger is the man!
'Feel free to browse da site more thoroughly' näin englanniksi väännettynä. Oma mielipiteeni, näin sivumainintana on, että tiedon kuuluisi kuulua kaikille ilman, että siitä joutuu maksamaan. Tieto kehittää ihmiskuntaa eteenpäin ja tämä(kin), ehm, tapaus on tavallaan ihmiskunnan kehittämisen hidastamista. Noh, anyways. Jatketaan
Wikipedian artikkelit
Ensinnäkin: Wikipedia on aivan loistava saitti! (Ja lisänotena: Wikipedia ei pelkästään missään nimessä sovellu opiskelun päävälineeksi, mutta siitä on hyötyä kun sieltä saadun tiedon yhdistää muualta saatuun tietoon. Wikipediassa tieto voi myös olla vajavaista, kuten varmasti monet tämän blogin lukijoista jo tietävätkin. Muista nämä "precautionit" aina kun tutkit mitä tahansa artikkeleita Wikissä.) No, mitä muuta sitä sanomaan. Linkkejä kehiin.
Wikipedia on hauska sivusto sinänsä, että siellä seikkaillessa linkeistä toiseen voi aika kulua kuin siivilällä. Allekirjoittaneen kokemuksista voin tämän todeta. Mikä siinä, ihan hyvää ajankulua sekin on.
Professori N. J. Wildbergerin YouTube-luennot
Wildberger on tehnyt innovatiivista uraauurtavaa tiedon jakamista Youtuben kautta ja vuodesta ... ehm, no monen vuoden ajan joka tapauksessa! Hänen kanavaltaan (linkki alempana) löytyy soittolistoja vaikka mistä aiheista. Videoita on niin paljon; yli 500 hänen kanavallaan, joten linkkaan tähän vain muutamia (omasta mielestäni) tärkeimpiä juttuja.
Suoraan kanavan tiedoista voi lukea Wildbergerin omin sanoin kanavan tarkoituksen kokonaisuudessaan;
"This channel aims to explain a lot of interesting
mathematics to a broad audience, to introduce exciting new research
directions for geometry, and to fix some of the logical weaknesses of
modern pure mathematics.
You'll find playlists on Rational Trigonometry (much simpler, more powerful), Linear Algebra, Algebraic Topology, History of Mathematics, Universal Hyperbolic Geometry (a complete new treatment of this subject, a YouTube first!), the Foundations of Mathematics (it needs fixing) and even an elementary introduction to K-6 mathematics.
I (N J Wildberger) am a professional mathematician, BSc U. Toronto 1979, PhD Yale 1984 and currently Assoc Prof at UNSW, with over 40 papers, one book, and a love of teaching.
I hope that you learn something from each video and that this beautiful subject will become a source of joy and inspiration to you.
Thanks to the people at Google and YouTube for giving us this chance to share. Enjoy, and may your understanding flower." -PhD N. J. Wildberger
You'll find playlists on Rational Trigonometry (much simpler, more powerful), Linear Algebra, Algebraic Topology, History of Mathematics, Universal Hyperbolic Geometry (a complete new treatment of this subject, a YouTube first!), the Foundations of Mathematics (it needs fixing) and even an elementary introduction to K-6 mathematics.
I (N J Wildberger) am a professional mathematician, BSc U. Toronto 1979, PhD Yale 1984 and currently Assoc Prof at UNSW, with over 40 papers, one book, and a love of teaching.
I hope that you learn something from each video and that this beautiful subject will become a source of joy and inspiration to you.
Thanks to the people at Google and YouTube for giving us this chance to share. Enjoy, and may your understanding flower." -PhD N. J. Wildberger
Ja tadaa - Wildbergerin kanava:
Wildbergerin kanavalta löydät soittolistoja ('Playlists') monilta matematiikan osa-alueilta. Itseäni varsinkin kiinnosti seuraava soittolista, joka kertoo matematiikan selvittämättömistä ongelmista Wildbergerin perspektiivistä. Videoita on yli 19 ja suurin osa luonneoista on n. 45 min. pituisia, joten katsottavaa kyllä riittää. Itseäni varsinkin kiinnostaa 3n+1 -ongelma, jota käsitellään sarjan toisessa osassa mielenkiintoiselta kannalta binaarilukujen näkökulmasta.
Numberphilen legendarinen Youtube-kanava aiheesta kuin aiheesta
Olen henkilökohtaisesti katsonut about kaikki Numberphilen videot tubesta. Jokainen video on kompakti tietoisku mitä erinäisimmistä aiheista ja luo aidon mielenkiinnon aina kyseiseen aiheesen. Henkilöt, jotka kertovat videon aiheesta, ovat ammattilaisia laidasta laitaan ja PhD:tä vilisee heidän rankeissaan, joten voit rennosti luottaa, että videon informaatio on todellakin hyvin korrektia.
Muut linkit
Tähän kategoriaan lisään satunnaisia saitteja, jotka ovat mielestäni katsomisen/tutkimisen/pohtimisen arvoisia.
Ja mitä olisikaan linkkilista ilman WolframAlphaa...
PPS. Voit linkata tähän blogiin hyviä matematiikka-aiheisia sivuja kommentoimalla blogia ja lisään ne tähän kun pystyn. Unohdin/kadotin erään loistavan sivun, joka näytti luonnolliset luvut eräänlaisina konstruktioina ja alkuluvut loivat siinä aina täyden ympyrän. Jos tiedät tämän sivun, pistä ihmeessä kommentteihin!
- - Tähän blogiin päivitän linkkejä sitä mukaa kun ehdin, eli kannattaa tsekata aika ajoin uudet päivitykset - -
"The laws of nature are but the mathematical thoughts of God."
-Euclid
-Euclid
Ensimmäinen blogimerkintä.
Minusta
Olen hieman erikoinen ja monin osin vajavainen ihminen, joka pyrkii täydellisyyteen, mutta epäonnistuu siinä. Eli aika perussettiä. Tosin, ei nyt ehkä kuitenkaan minun kohdallani. En tiedä oikein kuinka paljon haluaisin itsestäni tässä nyt mitenkään paljastella, joten ehkä jätän oman persoonallisuuteni ja ongelmani blogin suhteen taka-alalle ja kirjoittelen vain mielenkiinnon aiheista, pohdiskeluistani ja muusta sen sellaisesta.
Pahoittelen etukäteen vieraskielisten sanojen (lue: englanninkielisten sanojen) käyttöä tekstissäni. Katson ja opiskelen paljon englanniksi netin kautta, joten sanat tulevat hieman eräänlaisella automaatiolla kirjoittaessani tekstiä.
Miksi blogi?
Aloitin tämän blogin, koska haluan jakaa kiinnostustani ja omaa kontribuutiotani mitä erinäisimpien aiheiden suhteen, jotka minua, doh, kiinnostavat. Pääosin minua kiinnostaa matematiikka oikeastaan ihan yleisesti mainitsematta mitään tiettyä matikan haaraa. Eniten kuitenkin lähinnä numero- eli oikeammin lukuteoria (kaikki haarat) on se juttu mikä erityisesti kolahtaa. Olisin hyvin iloinen, jos blogi toimisi foorumina, jossa muut ihmiset voivat tuota ideoitansa ja pohdiskeluitansa esille helposti; että keskustelu sikisisi positiivisessa hengessä. Eräänlainen "think-tank"-idea siis. Idea- ja innovaatiofoorumi.
En henk. koht. opiskele missään instituutiossa ja olenkin pohdiskellut, että kuinka pitkälle ihminen pystyy itseopiskelemaan tietokoneen (ja internetin) kautta sanotaan nyt yleisesti että ihan mitä vaan. Kuinka korkealle tasolle on mahdollista päästä, jos harjoittelemisen parametrit ovat rajoitetut näin? Netistä löytyy uskomattomasti oppimateriaalia, mutta tällä tavalla opiskeleminen tapahtuu ilman gurun ohjausta. En pääse kovin helposti kyselemään niitä runsaita kysymyksiä, joita mieleni tekisi kysyä selventääkseni jotain aihetta, jota opiskelen. Niitä kysymyksiä tulisi liikaa lähetettäväksi koko ajan jonnekin matematiikan opettajille, ammattilaisille, professoreille jne. esim. sähköpostitse. Ja YouTuben kommenttisektiot eivät ole mielestäni optimaalinen platformi matemaattiselle pohdinnalle.
Yksi hyvä juttu, minkä voin tämän blogin avulla luoda, on listata videolektuureita (esim. juurikin matematiikasta) ja muita sen sellaisia linkkejä liittyen mihin tahansa (eli taas lähinnä matematiikkaan luultavasti) tähän blogiin merkinnöiksi. Eli siis linkkilistauksia, joista voi olla hyötyä muille henkilöille. Olen esim. katsonut hyvin paljon N. J. Wildbergerin lektuureja YouTubesta. Suosittelen, vaikka proffa onkin hieman puolueellinen joidenkin asioiden (=infiniteettien ja reaalilukujen) suhteen, mutta erittäin selkeätä opetusta ja paljon, paljon videoita löytyypi häneltä.
Miksi juuri matematiikka?
No okei, miksi juuri matematiikka ja numerot? Maailmassa on niin paljon aiheita, joista voisi kirjoittaa. Matematiikka on kiehtonut minua jo kauan. Numerot vetävät puoleensa. Ehkä n. 3 kuukauden aikana nyt olen ottanut hieman tavoitteeksi "boostata" tätä matematiikan opiskeluani. Katson ihan hirveästi matikkavideoita ja lueskelen netistä kaikenlaista ja on ilo oppia uutta, jotain mielenkiintoista. Ihan vain näin sivuseikkana mainitakseni; joskus 2008 tienoilla testasin eräiden muistisääntöjen avulla painaa mieleeni piin desimaaleja mahdollisimman paljon. Ehkä vajaan parin viikon kuluessa sain n. 550 desimaalia päähäni. Tuntuu, etten saanut lähellekään "mentaalista" rajaani. Pää ei tuntunut turpoavan millin milliä tuosta suorituksesta. Sen jälkeen en muuta enää muistakaan kuin.. ööh.. 3.141592...6(?) Jaa-a. Tämä suoritus nyt ei matematiikkaan pahemmin mitenkään liittynyt, mutta ehkä kertoo jotain kuitenkin innostuksestani numeroita kohtaan.
Minun mielipiteeni on, että matematiikka on eräänlainen looginen peli, jota pelataan eteenpäin. Se voi olla harrastuksenomainen aktiviteetti, joka voi luoda suurtakin nautintoa niille, jotka sitä harrastavat. Ihmiset luovat haasteita, konjektuureja ja muut yrittävät ratkaista niitä; luoda teoreemoja.
Matematiikka luo pohjan koko universumin tutkimiselle. Tämä on minun mielipiteeni. Matematiikka on syvällistä. Matematiikkaa käytetään kaikilla tekniikan osa-alueilla.
Kiitos ja kuittaus.
Olen hieman erikoinen ja monin osin vajavainen ihminen, joka pyrkii täydellisyyteen, mutta epäonnistuu siinä. Eli aika perussettiä. Tosin, ei nyt ehkä kuitenkaan minun kohdallani. En tiedä oikein kuinka paljon haluaisin itsestäni tässä nyt mitenkään paljastella, joten ehkä jätän oman persoonallisuuteni ja ongelmani blogin suhteen taka-alalle ja kirjoittelen vain mielenkiinnon aiheista, pohdiskeluistani ja muusta sen sellaisesta.
Pahoittelen etukäteen vieraskielisten sanojen (lue: englanninkielisten sanojen) käyttöä tekstissäni. Katson ja opiskelen paljon englanniksi netin kautta, joten sanat tulevat hieman eräänlaisella automaatiolla kirjoittaessani tekstiä.
Miksi blogi?
Aloitin tämän blogin, koska haluan jakaa kiinnostustani ja omaa kontribuutiotani mitä erinäisimpien aiheiden suhteen, jotka minua, doh, kiinnostavat. Pääosin minua kiinnostaa matematiikka oikeastaan ihan yleisesti mainitsematta mitään tiettyä matikan haaraa. Eniten kuitenkin lähinnä numero- eli oikeammin lukuteoria (kaikki haarat) on se juttu mikä erityisesti kolahtaa. Olisin hyvin iloinen, jos blogi toimisi foorumina, jossa muut ihmiset voivat tuota ideoitansa ja pohdiskeluitansa esille helposti; että keskustelu sikisisi positiivisessa hengessä. Eräänlainen "think-tank"-idea siis. Idea- ja innovaatiofoorumi.
En henk. koht. opiskele missään instituutiossa ja olenkin pohdiskellut, että kuinka pitkälle ihminen pystyy itseopiskelemaan tietokoneen (ja internetin) kautta sanotaan nyt yleisesti että ihan mitä vaan. Kuinka korkealle tasolle on mahdollista päästä, jos harjoittelemisen parametrit ovat rajoitetut näin? Netistä löytyy uskomattomasti oppimateriaalia, mutta tällä tavalla opiskeleminen tapahtuu ilman gurun ohjausta. En pääse kovin helposti kyselemään niitä runsaita kysymyksiä, joita mieleni tekisi kysyä selventääkseni jotain aihetta, jota opiskelen. Niitä kysymyksiä tulisi liikaa lähetettäväksi koko ajan jonnekin matematiikan opettajille, ammattilaisille, professoreille jne. esim. sähköpostitse. Ja YouTuben kommenttisektiot eivät ole mielestäni optimaalinen platformi matemaattiselle pohdinnalle.
Yksi hyvä juttu, minkä voin tämän blogin avulla luoda, on listata videolektuureita (esim. juurikin matematiikasta) ja muita sen sellaisia linkkejä liittyen mihin tahansa (eli taas lähinnä matematiikkaan luultavasti) tähän blogiin merkinnöiksi. Eli siis linkkilistauksia, joista voi olla hyötyä muille henkilöille. Olen esim. katsonut hyvin paljon N. J. Wildbergerin lektuureja YouTubesta. Suosittelen, vaikka proffa onkin hieman puolueellinen joidenkin asioiden (=infiniteettien ja reaalilukujen) suhteen, mutta erittäin selkeätä opetusta ja paljon, paljon videoita löytyypi häneltä.
Miksi juuri matematiikka?
No okei, miksi juuri matematiikka ja numerot? Maailmassa on niin paljon aiheita, joista voisi kirjoittaa. Matematiikka on kiehtonut minua jo kauan. Numerot vetävät puoleensa. Ehkä n. 3 kuukauden aikana nyt olen ottanut hieman tavoitteeksi "boostata" tätä matematiikan opiskeluani. Katson ihan hirveästi matikkavideoita ja lueskelen netistä kaikenlaista ja on ilo oppia uutta, jotain mielenkiintoista. Ihan vain näin sivuseikkana mainitakseni; joskus 2008 tienoilla testasin eräiden muistisääntöjen avulla painaa mieleeni piin desimaaleja mahdollisimman paljon. Ehkä vajaan parin viikon kuluessa sain n. 550 desimaalia päähäni. Tuntuu, etten saanut lähellekään "mentaalista" rajaani. Pää ei tuntunut turpoavan millin milliä tuosta suorituksesta. Sen jälkeen en muuta enää muistakaan kuin.. ööh.. 3.141592...6(?) Jaa-a. Tämä suoritus nyt ei matematiikkaan pahemmin mitenkään liittynyt, mutta ehkä kertoo jotain kuitenkin innostuksestani numeroita kohtaan.
Minun mielipiteeni on, että matematiikka on eräänlainen looginen peli, jota pelataan eteenpäin. Se voi olla harrastuksenomainen aktiviteetti, joka voi luoda suurtakin nautintoa niille, jotka sitä harrastavat. Ihmiset luovat haasteita, konjektuureja ja muut yrittävät ratkaista niitä; luoda teoreemoja.
Matematiikka luo pohjan koko universumin tutkimiselle. Tämä on minun mielipiteeni. Matematiikka on syvällistä. Matematiikkaa käytetään kaikilla tekniikan osa-alueilla.
Kiitos ja kuittaus.
"1. Mathematics is the language of nature.
2. Everything around us can be
represented and understood through numbers.
3. If you graph these
numbers, patterns emerge. Therefore: There are patterns everywhere in
nature. "
Tilaa:
Kommentit (Atom)