Mustista aukoista

Katsoin tuossa taannoin erään elokuvan, jossa selitettiin, miksi madonreikä avaruudessa olisi pallon muotoinen. Kuvaus kuului niin, että taitettiin paperi ja pistettiin kynä kahden paperikerroksen läpi. Kaksiulotteisessa maailmassa luotu reikä näyttäisi periaatteessa vain tietyn pituiselta viivalta, katsoi sitä mistä suunnasta vain. Mutta 2D-maailmassa ei saa käsitystä siitä, minkälainen tai minkämallinen tosiasiassa reikä on, kuten huomaamme jos katsomme tätä 2D-maailmaa kolmannesta ulottuvuudesta käsin.

En nyt oikein tuota logiikkaa tuon madonreiän kohdalla osaa sisäistää enkä oikein anna sille välttämättä hyväksyntääkään kovinkaan paljon. Tai no, en tiedä minkälainen madonreikä olisi. Olisiko se vain reikä/kolo avaruudessa vai jotain muuta? Sen sijaan hyväksyn paljon helpommin analogian mustan aukon kanssa. Tai nyt kun mietin niin en kyllä tiedä oikein mitä mieltä näistä jutuista olen kun en ole perillä asioista tarpeeksi.

Eli siis reikä kolmiulotteisessa maailmassa näyttäytyisi meille pallon muotoisena, mutta jos tätä reikää katsoo korkeammasta ulottuvuudesta käsin niin näkisi reiän todellisen muodon ja olemuksen. En nyt tältä erää jaksa enempää kirjoittaa, mutta mietiskelin vain että ihan kelpo ajatusmalli sille, mikä tai minkälainen musta aukko (tai madonreikä) olisi. Askel ymmärrykseen päin? Kiitos ja kuittaus.

Pitkästä aikaa + ilmoitusluontoinen asia

Moi taas, pitkästä aikaa. Ei ole tullut kirjoiteltua kuukausiin. Matematiikka on ollut hieman taka-alalla koko sen ajan ja olen keskittynyt muihin arkielämän askareisiin. Matematiikka on lähellä sydäntäni, mutta koska en halua perustaa uutta blogia, ajattelin laajentaa tämän Metamatikka-blogin kirjoituksia kaikkeen muuhunkin (lähinnä pohdiskeluihin) kuin vain matematiikkaan.

Eli ylläolevan kappaleen mukaisesti tulee tämä blogi toimimaan nyt ihan kaiken tekstin julkaisupalstana. Tämän illan lyhyt, yhden lauseen pituinen mietelmä kuuluu näin: Globaali apokalyptinen tapahtuma yhdistäisi ihmisiä. Siinäpä se.

Ostin myös rummut, joiden soittaminen on ollut hauskaa ja opettavaista kun en koskaan rumpuja ole soitellut! Ja eikun seuraavaan kertaan, moro!

Aksiomatiikka ja uudenlaisen matematiikan luominen

Olen hieman tutustunut pintaa syvemmältä (no, ainakin suhteutettuna omaan tietotaitoon, joka ei nyt ehkä ihan niin korkealla tasolle ole) matematiikan aksiomatiikkaan ja kuinka kaikki matematiikka perustuu sääntöihin ja sopimuksiin, jotka "vain pitää hyväksyä". Esim. matematiikan eräällä tunnilla tässä taannoin kysyin jotain jostain, että miksi jokin juttu oli niin kuin oli, niin opettaja vastasi että se on vain "sopimus", joka pitää hyväksyä [jotta päästään eteenpäin asiassa]. No, tämä asia oli sinänsä simppeli juttu ja ei perustavanlaatuinen aksiooma, vaan ihan vain periaatteessa laskusuoritus, jonka vastaus oli yllättävä ja epäintuitiivinen (näitähän riittää matematiikassa). Kunnianosoitukset ja kiitokset kuitenkin opettajalle, joka selitti varsin hyvin että miksi asia on näin, ihan esimerkein ja askel askeleelta. Eli tässä vinkki matematiikan opiskelijoille, joka on melko lailla itsestäänselvyys: Jos sinulla on jotain askarruttavaa mielessäsi, kysy opettajaltasi enemmän asiasta! Opettajat kuitenkin tekevät tätä työkseen ja tietotaito esittää vastaus varmasti löytyy - varsinkin jos sinulla on hyvä opettajaa, niitä kun nyt on laidasta laitaan. Mikä on sinänsä harmi. Jotkut opettajat ovat vain 10x parempia opettamaan kuin jotkut toiset, mutta tämä menee taas ehkä enemmän psykologian tms. puolelle, joten ei enempää tästä. Ai niin, vielä yksi asia, jonka haluan mahduttaa tähän kappaleeseen. Kysyin eräältä toiselta matematiikan opettajalta tässä myös taannoin, että mitä on i^i eli i korotettuna eksponenttiin/potenssiin i. Tästä tuli sinänsä yllättävä vastaus opettajalta, kun kuitenkin opettaa pitkän matematiikan kaikkia linjoja; hän ei tietänyt vastausta ja ei osannut sanoa kysymykseeni mitään. Buahah!

Okei, seuraava kappale. Vihdoinkin. Tarkoitukseni oli kirjoittaa otsikon mukaisesti uuden/uusien matematiikan luomisen mahdollisuuksista, mutta kirjoitin aika paljon ohi aiheesta jo äskeisessä kappaleessa, joten en taida tällä kertaa perehtyä niin syvästi tähän, vaan jätän suosiolla ensi kertaan. Tai johonkin kertaan, jos ei ensi kertaan. Kirjoitusinspiraationi hieman lyssähti nyt. No, joka tapauksessa matematiikka perustuu tällaisiin aksioomiin, jotka täytyvät hyväksyä, ennen kuin tehdään mitään rakentavampaa. Katsoin tästä juuri itse asiassa tänään videon professori Norman Wildbergeriltä ja odottelen tässä innolla ensi kertaa kun perehdytään lisää samoihin aiheisiin. Ja aiheethan siis nimenomaan on tässä uudessa ja seuraavassa videossa aksiomaattisten väitteiden ongelmallisuus. Ja tuosta sitten pulppusi oma ideani, että voisi huvikseen tehdä uudenlaisen "matematiikan", joka perustuu ihan erilaisiin sääntöihin. 1 + 1 = 3? Onnistuu! Tosin olen niin huono kirjoittamaan tai tekemään tällaista operaatiota, että jätän aiheen lähinnä siitä hieman ohi skriivailuun. Luin taannoin jonkun tekemän kommentinkin juuri tästä, että kuka tahansa hieman perehtyneempi matematiikan opiskelija voisi helposti tehdä ihan uudenlaisen matematiikan.

No jooh. Tähän jää kirjoitteluni tältä erää. Ensi kertaan! Ensi kerralla kirjoitan ehkä hieman irrationaalisista luvuista ja miten niitä voisikin itse asiassa käsitellä erittäin rationaalisina numeroina. Kiitos ja näkemiin.

Yhteenlaskusta

Yhteenlasku on yksi matematiikan perusoperaatioista ja minua pyydettiin kirjoittamaan siitä hieman syvemmällä luotauksella. Tämä kuitenkin osoittautui aika hankalaksi aiheeksi, koska se ei kiinnostanut minua. "Yhteenlaskun primitiivinen rakennus, miten yhteenlasku muuttaa lukuja ja yhteenlaskujen aksioomista mietteitä." Suurinpiirtein tällainen pyyntö siis. Toinen pyyntö oli, että miten suunnitella optimaalinen hylly. Sekin tuntuu aika kuivalta aiheelta itselleni.

1 + 1 = 2. a + a = b. 2a = b. (Kun kummatkin puolet jaetaan kahdella, saadaan a = b/2 eli 1 = 2/2.)

2a - b = 0 tai -2a + b = 0.

Jotain algebrallista raapustelua miksi 1 + 1 = 2. En oikein jaksa miettiä sen syvemmin kyllä.

Yleistä höpinää numeroista part 3

Olisin hyvin kiinnostunut seuraavanlaisesta projektista: Uudenlaisen matematiikan luominen, joka noudattaa eri sääntöjä kuin mitä meidän Universumissamme matematiikalla on. Universumimme matematiikka tuntuu suhteellisen kiinteältä kokonaisuudelta ja erittäin pitävältä (niin kuin vene, joka ei vuoda vettä), sääntöjä noudattavalta systeemiltä. Mutta onko totuus tämä? Matematiikassa on ongelmia, joita ei edes voida ratkaista. Puhun nyt siis Gödelin epätäydellisyyslauseista. Mielestäni jo sen suhteen matematiikka on puutteellista, ikään kuin ei-optimaalista Universumin ja kaiken suhteen. Vai onko asia nyt vain niin, että "näin se vain on" ja epätäydellisyydet mukaanlukien kokonaisuus on Täydellinen.

Kuitenkin... Mitä on tämä "täydellisyys", josta puhun? En tiedä oikein itsekään enää. Matematiikassa on muuten paljon lisääkin ongelmia ja mielestäni ehkä suurin niistä reaaliluvut ja kontinuumi (mistä se koostuu) sekä äärettömyys. Matematiikan mustia aukkoja piisaa.

Ja tästä pääsemmekin suoraan ratsastamaan fysiikan pariin. Kutsun tällaisia anomaliteetteja todellisen elämän glitcheiksi, "IRL bugeiksi". Näin hieman englanninkieltä lainaten. Fysiikka ja mustat aukot, niiden singulariteetti varsinkin, ovat ristiriidassa keskenään - kuten myös alkuräjähdys (sen singulariteetti) sekä moni muu asia; pimeä materia, pimeä energia? Eniten ehkä kuitenkin kvanttimekaniikka. Miksi voimme mitata niin uskomattoman epätäydellisesti partikkeleiden "eksistentiaalisuutta"? Emme voi tietää partikkelin, esim. elektronin, paikkaa jos tiedämme sen nopeuden ja vice versa. Emme voi tietää partikkelin nopeutta, jos saamme selville sen position. Ja kvanttilomittuminen?! Ei jeesus... Universumi on täynnä mysteerejä - mysteerejä, jotka itseasiassa tuntuvat asioilta/tapahtumilta, joita ei tässä Universumissamme kuuluisi ollakaan. Hieman kuin ohjelmoijalta olisi jäänyt viimeistelemättä koodi. Ihan kuin Jumala ei olisi antanut viime silausta, ajatusta, ennen suurta luomista - jos nyt näin uskonnollissävytteisesti asian voisin ilmaista. Tarpeeksi fysiikasta.

Onko kaikki kuitenkin "täydellistä" siten, miten asiat ovat? Ovatko luonnonlait ja matematiikka täydellisiä nyt? Katsonko liian ihmissilmin näitä vaikeita pulmia? Mielestäni en. Universumimme ei ole optimaalinen ilman ihmistäkään. Universumimme voisi olla äärettömällä tavalla "parempi kokonaisuus". Matematiikka on puutteellista, fysiikan lait myös. Nämä lait ovat puutteellisina olemassa ilman ihmiskuntaakin.

Yleistä höpinää numeroista part 2

Olen hirvittävän kiinnostunut siitä, mitä numerot ovat. Miksi ihmiset käyttävät lukujonoa numeroiden konseptina? Se on vain abstrakti ihmisten luoma tekele, jolla voidaan vain visuaalisesti näyttää numeroita jonossa. Se, kuinka minä numeroita ajattelen, ei ole kovinkaan selvää. Mitä minuun tulee, ei lukujonoa ole olemassakaan. Me vain tykkäämme näyttää numeroita näin. Voisiko lukujono olla erilainen vai onko tämä kaikki vain filosofointia? Onko numeroille jotain absoluuttista eksistentiaalista olemusta, edes abstraktien ja teoreettisten ideologioiden tasolla?

Olen kuullut eräältä professorilta hänen oman näkemyksensä, miten numerot "ovat olemassa" ja se on seuraavanlainen: numerot ovat sekasortoisesti miten sattuu hyytelömäisessä rakenteessa. Pah, tämä on naurettavan kuuloista kun en osaa kuvailla/tuoda ilmi niin tarkasti tätä professorin näkökulmaa, joka oli erittäin validi omasta mielestäni. Professori nimittäin laski äärettömiä sekvenssejä ja mitä tuloksia niistä voi hieman matemaattisin (joskin validien) kepulikonstien avulla saada - eli siis mikä on jonkin äärettömän laskutoimituksen summa. Tässä tapauksessa se muistaakseni oli ehkä tämä perus 1 + 2 + 3 + 4 + ... jonka tulos siis olisi -1/12. Professori selitti, kuinka numerot plussautuvat toisiinsa ja tämä ääretön lukujono tavallaan kierii tämän -1/12 -tuloksen ympärillä tässä numerohyytelössä. Tällöin tuon numeroiden yhteenlaskun limitti, raja-arvo olisi tuo -1/12. Erittäin mielenkiintoinen näkökanta professorilta. Hieman alternatiivista lukujonoajattelua.

Tokihan lukujonoa voi laajentaa kompleksitasolle, mutta ydinkysymys silti taas voimassa, ei se mihinkään katoa kun näitä tasoja nostellaan vaikka kuinka mielivaltaisesti ...kai. Kompleksitasolta hypätään sitten kolmannen numeroavaruusulottuvuuden yli ja saavutaan kvaternioiden tasolle saamatta mitään kovin järkevää vinkkiä tähän ydinkysymykseen/-ajatelmaan, jota pohdin.

Yleisesti, jostain kumman syystä, lukujonon pisteitä sanotaan nollaulottuvuuksisiksi pisteiksi. Miksi ne ovat "0-ulotteisia pisteitä"? Mitä tuo kysymys edes periaatteessa tarkoittaa? Jonkinlainen ihmiskunnan keksintö taas tämäkin. Ei oikein tunnu vakuuttavalta sanoa noin ja mistä tuo oletus edes tulee? Onko muka olemassa jotain todisteita tai mitään, minkä takia pisteet lukujonolla olisivat 0-ulotteisia? Nollannella ulottuvuudella ei yksinkertaisesti ole paikkaa meidän reaalimaailmassa - eikä reaalinumeroiden maailmassa ...ehkä. En tiedä. Selittäkää joku järkevämpi minulle niin, että ymmärrän asian, jos teillä tähän on vastaus! Ja vielä loppuajatus/-kysymys tähän paragrafiin: Onko ajatuksilla tilaa tässä maailmassa? Ovatko ajatukset nollaulotteisia objekteja? Numerot ovat yhä abstrakteja entiteettejä, kuten myös ajatuksetkin.

Lukujono on ihmisen keksintö ja jos ajattelet pisteiden lukujonolla olevan nollaulotteisia, eikö tuo tarkoittaisi samaa kuin että ne eivät vie yhtään tilaa lukujonolla? Essentiaalisesti niitä ei siis käytännössä ole edes siellä lukujonolla. Vai onko? Eikö kaikki luvut sitten miinus-äärettömästä plus-äärettömään uppoutuisi eräänlaisesti johonkin singulariteetiin - pisteeseen, jota ei alunperin edes ollut olemassakaan. Ja myös, haluaisin huomauttaa, että ehkä numeroiden maailman takana todella voisi olla jonkinlaista taikaa. Kuten eräät sanovat, että emme asu missään keijukaisten maailmassa... Mitäpä jos asummekin? Ja tätä taikaa olisi numeroiden takana. Juuri kuten pimeä aine toimii universumissamme mysteerisin tavoin; vaikuttaa painovoimallaan objekteihin avaruudessa mutta me emme näe pimeä ainetta, emme pysty mitenkään millään tavalla mittaamaan mitä pimeä aine edes on. Se ei vaikuta muutoin kuin painovoimallaan meidän universumissa. En nyt sano, että pimeä aine jotain taikaa olisi, mutta tuo oli vain pieni vertailupohdiskelu.

Olen myös miettinyt erilaisten mahdollisten universumien matematiikkaa: Voisiko 1 + 1 olla jossain universumissa 3? Tai 1? Tai 5 = 6? Voisiko luoda uudenlaista matematiikkaa, jossa olisi täysin toimivat samat säännöt kuin nykymatematiikassakin? Mielenkiintoista pohdiskelua tosiaan ja ihan varmasti voidaan luoda (me ihmiset) jo jonkinlainen erilainen matematiikka - ihan vaan vaikka leikillä testiksi.

Yleistä höpinää numeroista

Numeroista yleisesti kunhan tässä vähän itsekseni pölisen ajankuluksi vain... Mutta mielestäni reaalilukujen tarkkaa määritelmää ei tuoda tarpeeksi tarkasti esille oikeastaan missään. En koko elämäni aikaisista matematiikan opinnoista muista koskaan saaneeni oppia mitä numerot oikeastaan ovat. Jotkut kun olen kuunnellut, sanovat, että se mitä numeroilla tehdään (operaatiot) ovat tärkeitä ja itse numerot ovat itsestäänselvyyksiä. Itseasiassa numeroita käsitelläänkin ihan vain itsestäänselvyyksinä ja luulenkin, että hyvin vahvasti sen takia kaikki opetus keskitetään näihin operaatioihin. Ja tämä, mistä kirjoitan ja koitan tällä tekstillä ajaakin asiaa eteenpäin parempaan suuntaan, ei suinkaan ole metamatematiikkaa tai filosofisoimista matematiikasta. Noh, ei ainakaan kokonaan, heh.

Numeroita määritellään oikeastaan mielestäni jotenkuten hyvin vain parilla hassulla tavalla, jotka nekään eivät oikein tunnu vakuuttavilta. Esimerkiksi Cauchyn ekvivalenssiluokkina määriteltyinä tahi Dedekindin leikkauksina. Nämä määritelmät otetaan hieman taas kuin oletuksina tai "pakottamisina" käyttöön kun halutaan määrittää jotain, jota ei ehkä vielä ainakaan osata määrittää. Haluatko numeron, joka on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin kaikki (reaali)luvut? Ei hätää, määritellään vain uusi objekti. Mielestäni matemaatikan ytimeen pitäisi iskeä ja opettaa enemmän sitä ydintä oppilaille.

Miten oppia, mitä numerot ovat? Olen itsekin vielä tällä tiellä ja otan ilolla vastaan kaiken informaation, linkit, videot, mitä vain kenellä tahansa lukijallani on ehdottaa minulle. Koulun oppikirjoista hädin tuskin löytyy mitään kovinkaan järkevää, joka kertoisi mistä kontinuumi koostuu, kuinka mallintaa sitä, mitä ovat reaaliluvut jne. Mistä sitten löytää jos ei edes oppikirjoista?! Toisaalta, miksi tämän pohjatiedon opetteleminen olisi edes tärkeää? Mitä teet jollain täydellisellä reaalilukujen määritelmällä? (Nämä olivat vain ilmaan heitettyjä ajatuskysymyksiä.)